Aufgabe 5
Sie haben nun t-s Diagramme kennengelernt. Ich hoffe ich konnte Sie überzeugen (oder Sie wussten es schon vorher), dass die Steigung im t-s Diagramm ein Maß für die Geschwindigkeit ist.
Wissen Sie noch? Die Steigung einer Geraden berechnet man in der Mathematik mit Hilfe des Steigungsdreiecks: Man findet zwei Punkte, die auf der Geraden liegen, und teilt die Höhe durch die Breite des Dreiecks.
Jeder Punkt auf dem Graphen gehört zu einem festen Zeitpunkt t und zu einem festen Ort s, die genauen Werte können Sie auf den Achsen ablesen.
Aufgabe 5-1
Angenommen Sie haben zwei Punkte auf der Geraden in einem t-s Diagramm festgelegt. Welche Aussage ist richtig?
a) Die Höhe des zugehörigen Steigungsdreiecks berechnet man durch die Differenz der beiden zugehörigen Zeitpunkte.
b) Die Breite des zugehörigen Steigungsdreiecks berechnet man durch die Differenz der beiden zugehörigen Orte.
c) Die Breite des zugehörigen Steigungsdreiecks berechnet man durch die Differenz der beiden zugehörigen Zeitpunkte.
d) Die Höhe des zugehörigen Steigungsdreiecks berechnet man durch die Differenz der beiden zugehörigen Orte.
Damit man die beiden Zeitpunkte unterscheiden kann, schreibt man kleine Zahlen, sogenannte Indizes, an die Buchstaben. Hat man es zum Beispiel mit zwei Zeitpunkten zu tun, so schreibt man und man liest: "t eins" und "t zwei". Die passenden Orte werden dann mit bezeichnet.
Aufgabe 5-2
Berechnen Sie Höhe und Breite des oberen Steigungsdreiecks für die Zeitpunkte und . (Der Computer hat es Ihnen bei den anderen beiden schon vorgemacht.)
Damit man nicht jedes Mal die Differenz aufschreiben muss, schreibt man ein Dreieck (griech. Delta) vor das t: (sprich "Delta t"). Das Zeichen steht also für die Zeitdifferenz. Die Ortsdifferenz wird mit bezeichnet. Das liest sich: "Delta s ist gleich s zwei minus s eins".
Wir können also auch schreiben: Höhe=, Breite=.
Die Steigung des Steigungsdreiecks ist also Delta s durch Delta t. In Formeln:
Wie gesagt ist die Geschwindigkeit die Steigung im t-s Diagramm. Sie wird in der Physik mit v abgekürzt.
Insgesamt haben wir also folgende Formel hergeleitet:
Aufgabe 5-3
(a) Wählen Sie mit den Schiebereglern zwei Zeitpunkte aus und berechnen Sie für alle drei Graphen die Geschwindigkeit des Autos, indem Sie die Steigung mit Hilfe des Steigungsdreiecks bestimmen.
(b) Schieben Sie die Regler auf zwei andere Zeitpunkte und wiederholen Sie die Rechnung zumindest für ein weiteres Steigungsdreieck.