Funciones polinómicas - Generalidades
- Autor:
- profeDomingoHely Perez
Función polinómica
Función polinómica es una función que está definida por polinomios.
Sea el polinomio .
Se define f(x) como la función f(x) = P(x):
Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.
Dominio de las funciones polinómicas
El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Todo número real tiene su imagen y es única: / .
Rango de las funciones polinómicas
El rango de las funciones polinómicas de grado impar son todos los números reales. Todo número real en una función polinómica de grado impar, es imagen de algún número real.
El rango de las funciones polinómicas de grado par es un subconjunto de los números reales:
- Si an > 0, el rango es el intervalo [yM, ), siendo yM la ordenada del punto mínimo absoluto.
- Si an < 0, el rango es el intervalo (, yM], siendo yM la ordenada del punto máximo absoluto.
Veamos dos ejemplos de función cuadrática (n = 2):
a) f(x) = 3x2 - 4x - 1, an = 3
Como an >0, la gráfica es convexa y tiene el mínimo absoluto en el punto PM = (0.66, - 2.33). En consecuencia, el rango de f(x) es el intervalo [- 2.33, ). Reales mayores o iguales a - 2.33
b) g(x) = - 3x2 - 3x +1, an = - 3
Como an <0, la gráfica es cóncava y tiene el máximo absoluto en el punto PM = (-0.5, 1.75). En consecuencia, el rango de gx) es el intervalo (-, 1.75]. Reales menores o iguales a 1.75
Raíces de las funciones polinómicas
Raíces o ceros de una función son cada uno de los valores x en el que la función f(x) se hace cero, es decir, el polinomio de la función se iguala a cero.
Las raíces de una función pueden ser reales o complejas.
Si las raíces son reales, la función cruza o toca al eje X en esos valores de x.
Si una raíz real se repite, significa que la función es tangente al eje X en ese valor.
Si todas las raíces son complejas, la función no cruza ni toca al eje X.
Una función polinómica de grado n tiene n raíces o ceros entre raíces reales y raíces complejas.
Si f(3) = 0, entonces x = 3 es una raíz de la función f(x). La función cruza al eje X en el punto (3, 0).
Intercepto con el eje Y
Todas las funciones polinómicas intersecan al eje Y en el punto Iy = (0, ao), siendo ao el término independiente del polinomio P(x). Modifique el valor de F en el applet y observe el comportamiento de la gráfica con relación al eje Y.
Se presenta un applet que permite mostrar gráficas de funciones polinómicas desde grado cero hasta grado 5. La forma genérica utilizada es f(x) = Ax5 + Bx4 + Cx3 + Dx2 + Ex + F en donde los coeficientes A, B, C, D, E, F son manejados por deslizadores.
Si por ejemplo, se quiere mostrar una función cúbica se hará A = 0 y B = 0.
Explore el applet Graficador de funciones polinómicas al final de este libro o también en el link https://www.geogebra.org/m/ybhvuukp#material/hcdwddsz