Empaquetamiento con dodecaedros rómbicos de H. Steinhaus
Hugo Steinhaus en su libro "Instantáneas matemáticas" propone este ejercicio para comprobar que el dodecaedro rómbico completa el espacio:
Se colocan cubos amarillos y verdes alternativamente formando un ajedrezado espacial (solo activamos las casillas 1 y 2 de cubos), luego ocultamos los cubos verdes (desactivamos la casilla 1) y descomponemos los huecos en seis pirámides de bases cuadradas, con vértice en el centro del hueco cúbico (activamos la casilla 3 de los dodecaedros rómbicos) y los veremos con un cubo amarillo inscrito en su interior. De esa forma hemos completado el espacio con dodecaedros rómbicos.
La casilla 4 muestra los vértices de los cubos y los de los centros de los cubos que sirven para crear las pirámides de los dodecaedros rómbicos.
Los vértices del poliedro
El dodecaedro rómbico tiene dos tipos de vértices: en los del tipo A se juntan 3 rombos (donde se encuentra el ángulo grande, en rojo) y en los vértices del tipo B se juntan los ángulos menores (van 4 rombos, en azul). ¿Cuántos vértices hay de cada tipo en este poliedro?
Los vértices en el embaldosado de poliedros
Cuántos dodecaedros rómbicos se juntan en cada vértice de tipo A y de tipo B
De los dodecaedros rómbicos a las celdillas
H. Steinhaus describe así el paso de unos a otras:
Las celdillas del panal se obtienen a partir de dos capas de dodecaedros, sustituyendo las caras libres (3 en cada dodecaedro) por una apertura hexagonal, en consecuencia, hay, en cada celdilla, puntos donde concurren 4 celdillas y puntos donde concurren 6.
El siguiente applet muestra la construcción de los prismas.
Esta actividad pertenece al libro La geometría del panal de José Antonio Mora.