Adott a síkon két pont, ... (28.)
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
A és B.. Egy adott e egyenes pontja P. A P-hez azt a P' pontot rendeljük, melyre igaz, hogy AP merőleges AP'-re és BP merőleges BP'-re. Mi a P' pontok mértani helye, ha P végigfut az e egyenesen. (Dr. Szilassi Lajos)
A sejtéshez:
A szerzett tapasztalatok alapján sejthető, hogy a keresett mértani hely hiperbola vagy parabola. Ha e az AB felező merőlegese, akkor a keresett mértani hely az e.
Mértani helyes problémáknál segítségül hívhatjuk a koordinátageometriát. Ebben is tud segíteni a GeoGebra komputeralgebrai rendszere (CAS).
Ha az adott egyenes nem merőleges az adott két pont egyenesére
Ha az adott egyenes merőleges az adott két pont egyenesére
Látható, hogy a kapott egyenlet kétismeretlenes másodfokú egyenlet, A kapott mértani hely másodrendű görbe,
Azt már láttuk, hogy ha e az AB felező merőlegese, akkor a keresett mértani hely az e.
Ha e merőleges az AB egyenesére akkor a mértani hely egyenes, ami az e AB felezőpontjára vonatkozó tükörképe,
A kapott egyenletet érdemes vizsgálgatni. A bal oldala számlálójának kell nullának lenni:
Ha m=0 és b nem nulla, azaz az e párhuzamos az AB egyessel, akkor a keresett mértani hely egy AB-egyenesrer merőleges tengelyű parabola. Ha m = b = 0, akkor a keresett mértani hely két párhuzamos egyenes, melyek illeszkednek A-ra és B-re és merőlegesek e-re. , . ,
