A {6,3} típusú szabályos térképek
Mint itt említettük, egy közönséges poliéder megadásához két dolgot kell egyértelműen meghatároznunk:
- a kombinatorikus szerkezetét, vagyis azt, hogy egy-egy lapjának hány csúcsa van, és ezek a lapok melyekkel és milyen sorrendben csatlakoznak egymáshoz;
- a csúcsainak a koordinátáit, ügyelve arra, hogy ezek egyszerű, egymással nem ütköző sokszögeket alkossanak.
... de hogyan?
Vegyük először alaposan szemügyre az alábbi applet első rajzát, amelyből kiolvasható a F07k1{} lista, amely a hétlapú toroid kombinatorikus szerkezete.
A rajzon sötétebb barnával jelölt hatszögekre írt 1, 2, ..7 számok lesznek a hétlapú poliéder lapjainak a sorszámai. Ezt a 7 tagú sorozatot jobbra és balra eltolva kitöltöttük számokkal a hatszögrács egy sorát.
Ezt a kitöltött sort lefelé 1-el és jobbra 3-al - pontosabban: 2+1/2-el - eltolva kapjuk a következő sort. - Ezt az eltolást mutatja a piros nyíl: a barna "sor " eltolt képe a világosbarna. Ezzel az eltolással pl. az 1. sorszám a 3. és 4. alá került.
Ezt az eltolást le és fel ismételve megjelölhető az 1,2,..7 számmal az egész hatszögrács.
Más megfelelő eltolás nincs. Ugyanis ha pl az 1. sorszám a 4. és 5. alá kerülne, akkor a 4. két helyen is szomszédos lenne a 7.-el.
A szabályos hatszögrácsnak van még két "sora": a jobbra lefelé mutató kék, és a balra lefelé mutató zöld.
Ezek azonban egybevágó konstrukciók a barna, sorral csak a sorszámok más permutációban követik egymást. Tehát a 7 lapú {6,3} szabályos toroidnak csak egy kombinatorikus típusa létezik.
Lássuk most el a hatszögrács csúcsait is rendre az 1,2,...14 számokkal! Ezeket a transzformációkat követve megjelennek a hatszöglapok csúcsaiban a keresett poliéder csúcsainak a sorszámai. Így kapjuk az F07k1{} lista elemeit. A lista neve arra utal, hogy ezzel leírtuk azt a tóruszra rajzolt szabályos gráfot, amelynek 7 tartománya van, minden tartománynak másik hattal van közös éle. k1 azt jelzi, hogy csak egy ilyen gráf létezik.
A rajzon keletkezett egy paralelogramma rács is, amit az azonos sorszámú hatszögek középpontjai alkotnak.
Aki szeretné "látni" magát a tóruszra rajzolt térképet, elegendő kivágni a síkból egy olyan paralelogrammát, amelynek a csúcsai pl. az 1. sorszámú hatszögek középpontjai.
És így tovább
Olvasóinkra bízzuk a többi, 8, 9,...15 tartományú gráf megvizsgálását.
Felhívjuk a figyelmüket, hogy 9, 12, 13, 14, és 15 lap esetén több egymástól különböző kombinatorikus szerkezet is létezik. Annak a vizsgálatát, hogy több valóban nem létezhet, olvasóinkra bízzuk.
Figyeljük meg, hogy van két olyan eset, ahol az elsőként megjelölt 1, 2, ...n jelű hatszögek nem rendezhetők egy sorba. Ez az F09k2 és az F12k4 gráf.
Megjegyezzük még, hogy ezekről a rajzokról leolvashatók a tóruszfelületre feszített {6,3} szabályos gráfok duális, {3,6} típusú gráfok kombinatorikus szerkezete is. Ezek azok, amelyek tartományai háromszögek,és minden tartományba 6 él fut be. Ezeket úgy kapjuk, hogy hogy a lap sorszáma az ami a fenti rajzon a csúcsokat jelölte, a csúcsoké az, ami a lapokat jelölte.
Pl. az F07k1{6,3} gráf duálisa a
- DF07k1{3,6}={ {1,3,4}, {2,4,5}, {3,5,6}, {4,6,7}, {5,7,1}, {6,1,2}, {7,2,3}, {4,2,1}, {5,3,2}, {6,4,3}, {7,5,4}, {1,6,5}, {2,7,6},{3,1,7}}
Körök (Hamilton körök)
Képzeljük el, hogy egy társaságban mindenki megfogja két társának a kezét.
Ezzel előáll egy (vagy több) emberekből álló kör. (Mint ahogy az oviban megtettük.) Így olykor csak egy "kör" keletkezik. Na ez a Hamilton-kör.
Fogalmazzunk egy kicsit pontosabban.
Egyszerű gráfoknak nevezzük azokat a véges gráfokat, amelynek bármely két csúcsát legfeljebb egy él köti össze.
Egy gráf éleiből álló (véges) sorozatot útnak nevezünk, ha a megadott élsorozat minden élének van közös csúcsa a vele szomszédos élekkel. Ha a sorozat első és utolsó éle is szomszédos, akkor az utat körnek nevezzük. Hamilton-kör a gráfnak egy olyan köre, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza.
Érdekes, gyakran vizsgált kérdés, hogy egy egyszerű véges gráfnak van-e Hamilton köre, és ha igen akkor hány egymástól különböző Hamilton-köre létezik.
A {6,3} szabályos gráfok Hamilton-körei.
Vegyük szemügyre egy szabályos hatszögrácsot, pl. a fenti applet hatszögrácsait. Színezzük ki az éleit három színnel úgy, hogy a szemközti (itt párhuzalos) élek ugyanazt a színt kapják.
Ha most a hatszögrácsból készítünk egy tóruszra rajzolt gráfot - mint a fenti appletben - akkor a két szín topológiai értelemben vett köröket képez. Többnyire egy-egy Hamilton-kört.
Pl. az F07 gráf esetében a Hamilton-körök csúcsainak a listái a térképről könnyen(??) leolvashatók:
- H1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
- H2={ 1, 2, 11, 12, 7, 8, 3, 4, 13, 14, 9, 10, 5, 6}
- H3={ 1, 14, 9, 8, 3, 2, 11, 10, 5, 4, 13, 12, 7, 6}
- ◀ + ▶ = ◀▶
- ◀ + ▶ = ◀▶
- ◀ + ▶ = ◀▶