２．数列の和と差と積
このページは電子ブック「探求 数学B・C」の一部です。
１．和と差
＜和と差＞
和Sn-1+an=和Snという関係から、
Snの一般式から、anの一般項を差Sn-Sn-1で逆算できます。
（例）
「Sn=2n3+nのときのanの一般項」は？
an=Sn-Sn-1=2n3+n-(2(n-1)3+(n-1))=2(n3-(n-1)3)+(n-(n-1))=2(n2+n(n-1)+(n-1)2)+1
=6n2-6n+3
（例）
「Sn=5n-1のときのanの一般項」は？
an=Sn-Sn-1=5n-5n-1=(5-1)5n-1=4･5n-1
＜和と差分解＞
分母の因数の差が分子の分数は単位分数（分子が１の分数）に差分解できるものがある。
（例）
・
・
・
=
分数でなくても、一般項ak=f(k)-f(k+1)と差分解できる数列の和∑ak=f(1)-f(2)+f(2)-f(3)+.....-f(n+1)
=f(1)-f(n+1)と両端の差になる。
（例）
「a1=1,(n+3)an+1-nan=1/(n+1)-1/(n+2)のとき、bn=n(n+1)(n+2)anとなる数列{bn}の一般項」は？
等式の両辺に(n+1)(n+2)をかけると、左辺はbn+1-bnに、右辺は(n+2)-(n+1)=1となる。
bn+1-bn＝1は、公差１の等差数列bnの初項はb1=1･2･3･1=6。bn=6+1(n-1)=n+5。」
（例）
「xn=2k/2-1のとき、Sn=∑k(xk- xk-1)の一般式」は？
k(xk-xk-1)=(kxk-(k-1)xk-1)+ xk-1 とすると、最後の項以外は差分解された。
Sn=∑n(kxk-(k-1)xk-1)＋∑2(k-1)/2-1n=(n(2n/2-1)-(1-1)x0)+(1-√2n)/(√2-1)-n=n√2n+(1-√2n)(√2+1)
=n√2n+√2-√2n+1+1-√2n=√2n(n-√2-1)+√2+1
（例）
「連続３奇数のn項の積和1･3･5+3･5･7+..........+(2n-1)(2n+1)(2n+3)」は？
bk=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5)とすると、
ak=(2k-1)(2k+1)(2k+3)=(2k-1)(2k+1)(2k+3)(2k+5-(2k-3))/8=(bk-bk-1)/8と差分解できる。
∑ak=1/8∑(bk-bk-1)=1/8((2n-1)(2n+1)(2n+3)(2k+5)- (-1)･1･3･5)
=1/8(16n4+64n3+56n2-16n-15+15)
=1/8(8n(2n3+8n2+7n-2))=n(n+2)(2n2+4n-1)
２．積数列
＜積数列の和＞
等差数列{an}と等比数列{bn}の同じ番号をかけた積数列{cn}の和Sの一般式を求めたい。
an=a＋(n-1)d、bn=rn-1とする。
cn=(a+(n-1)d)rn-1
Sをr進数とみなすとSはｎけたでanが第n位にくる。rSはSの１左シフトのn+1けたになる。
Sの第n位はrSnで第n+1位にくるから、第n位(１の位以外）はd小さくなる。同じ位の差はd。
S - r Sは1の位はa,ｒの位からｎ番目の位まではすべてd。n+1番目の位だけマイナスでrSの最上位。
だから、S(1-r) = a+d(r+r2+....+rn-1)- cn+1
（例）
「S=1+2r+3r2+....+nrn-1の一般式」は？
rS=1r+2r2+3r3+......+nrnとの差は(1-r)S=1+r+r2....+rn-1-nrn=(1-rn-nrn+nrn+1)/(1-r)
S=(1-(n(1-r)+1)rn)/(1-r)2
（例）
「S=1･1+2･(-2)+3･(-2)2+....+n･(-2)n-1の一般式」は？
(-2)S=1･(-2)+2･(-2)2+....+(n-1)･(-2)n-1+n･(-2)nとの差は
(1-(-2))S=1+(-2)+(-2)2....+(-2)n-1-n(-2)n=(1-(-2)n-n(-2)n+n(-2)n+1)/(1-(-2))
S=(1-(3n+1)(-2)n)/9
（例）
「xn=2k/2-1のとき、Sn=∑k(xk- xk-1)の一般式」は？
k(xk-xk-1)=k(2k/2-2(k-1)/2)=√2(k-1)k(√2 -1)から、
Rn=∑n√2(k-1)kとおくと、Rnはnけた√2進数のように表記できる。
√2RnはRnを左に1シフトしたn+1けた と表記できる。
Rn- √2Rnはn+1けた以外1になる。(1-√2)Rn=-n√2n+1(1+√2+√22+....+√2n-1)=-n√2n+(1-√2n-1)/(1-√2)
だから、Sn=∑k(xk-xk-1)=∑Rn(√2 -1)=n√2n+(1-√2n)/(√2-1)=n√2n+(1-√2n)(√2+1)
=n√2n+√2-√2n+1+1-√2n=√2n(n-√2-1)+√2+1３．数列と２次元表
＜２項定理＞(a+b)のn乗の展開式をaの降べきの順にならべると、
係数はパスカルの三角形と同じになる。
１乗：１，１
２乗：１，２，１
３乗：１，３，３，１
４乗：１，４，６，４，１
bの指数がr,aの指数がn-rになるときの係数はnCrである。
これを[2項係数(binomial coefficients)]という。
aとｂの指数の和＝ｎに着目しよう。
（理由）
bがr乗になるのは、n個のカッコからbをｒ個選ぶ組み合わせと等しく、ｎCrになるから。
ｎ乗：nC0=1,nC1=n,nC2,........,nCn-1=n,nCn=1となり、一般項はnCr aqbr (q+r=n)
（例）「(x+1)20の展開式のｘ17の係数」は？
20C20-17=20･19･18/3!
（例）「(x+1/2)8の展開式のx6の係数」は？
8C8-6(1/2)8-6=28･1/4=7
＜パスカルの三角形を列でみる＞
パスカルの三角形の２行目が(a+b)2の展開項の係数、ｎ行目が(a+b)nの展開項の係数でした。
パスカルの三角形を行ではなく、列でみると規則性が出てきます。
・１列目
aかbの指数が０なら、pn=nC0=1 (１の列）
・２列目
aかbの指数が１なら、pn=nC1=n (自然数）
・３列目
aかbの指数が２なら、pn=nC2=n(n-1)/2 (三角数）
・４列目
aかbの指数が３なら、pn=nC3=n(n-1)(n-3)/6 (三角すい数）
。。。。。。。。。
＜群数列＞
群数列はグループ（かたまり）で区切るだけでなく、パスカルの三角形のように
改行して視覚化すると、行数と列数の２つの番号変数の関数となる。
たとえば、ｍ行ｎ列の表にある数列を{am,n}とかくことにする。
ai,j（i+j=n)となる数列a1,n-1, a2,n-2, ......,an-2,2, an-1,1を第n-1群とよびbn-1としてみよう。
b1={a1,1}
b2={a1,2, a2,1}
b3={a1,3, a2,2, a3,1}
b4={a1,4, a2,3, a3,2, a4,1}
のように、右に群が増え、群の中は左下がりに配置される場合がある。
（例）
「bn={{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},{21,23,25,27,29},......}のa1,nの一般項、bnの和Snの一般項」は？
{a1,n}はbnの先頭数列だから、{1,3,7,13,21,......}階差数列cn={2,4,6,8,....}となる。
a1,n=1+∑n-1(2k)=1+(n-1)n=n2-n+1が一般項。群の最後は次の先頭より２小さいから、
an,1=(n+1)2-(n+1)+1-2=n2+n-1。群の要素数は群の先頭の列番号nと同じだから、
Sn=((n2-n+1)+(n2+n-1))n/2=n3。