Απλό εκκρεμές: Μεγάλες vs Μικρές γωνίες εκτροπής
![Για μεγάλες γωνίες εκτροπής η ταλάντωση τού απλού (μαθηματικού) εκκρεμούς δεν είναι αρμονική. Στις μικρές γωνίες, [math]θ<15^\circ[/math], η κίνηση τού εκκρεμούς προσεγγίζει την ΑΑΤ.
Η προσομοίωση υλοποιήθηκε με τη [b]μέθοδο Leapfrog[/b], μια συμπλεκτική αριθμητική μέθοδο 2ης τάξης για διαφορικές εξισώσεις κίνησης.
Στη Leapfrog η γωνία θ και η γωνιακή ταχύτητα ω υπολογίζονται εναλλάξ, με την ταχύτητα να ορίζεται σε ημιβήματα χρόνου. Η δομή αυτή προσφέρει καλή διατήρηση της μηχανικής ενέργειας και αυξημένη αριθμητική σταθερότητα, ιδιαίτερα για μη γραμμικές ταλαντώσεις και μεγάλες γωνίες εκτροπής.](https://beta.geogebra.org/resource/jms6ghgp/jSpLeHFZ6yRzAkyk/material-jms6ghgp.png)
Αριθμητική μέθοδος Leapfrog
Η Leapfrog είναι μια ρητή, συμπλεκτική αριθμητική μέθοδος 2ης τάξης για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων κίνησης.
Η βασική της ιδέα είναι ότι οι μεταβλητές θέσης και ταχύτητας δεν υπολογίζονται στον ίδιο χρόνο. Η ταχύτητα ορίζεται σε ημιβήματα χρόνου, ενώ η θέση σε ακέραια βήματα. Έτσι οι δύο μεταβλητές «εναλλάσσονται» χρονικά, σαν να πηδούν η μία πάνω από την άλλη, εξ ου και το όνομα.
Πλεονεκτήματα:
• Συμπλεκτική φύση
Διατηρεί τη γεωμετρική δομή των εξισώσεων Hamilton. Αυτό σημαίνει πολύ καλή μακροχρόνια συμπεριφορά.
• Καλή διατήρηση ενέργειας
Η ολική ενέργεια δεν παρουσιάζει συστηματικό drift αλλά μικρές ταλαντώσεις γύρω από τη σωστή τιμή. Ιδανικό για ταλαντώσεις, πλανητικά συστήματα, εκκρεμή.
• Απλότητα
Εύκολη υλοποίηση, λίγοι υπολογισμοί ανά βήμα.
• Σταθερότητα σε μη γραμμικά συστήματα
Αποδίδει αξιόπιστα ακόμη και για μεγάλες γωνίες ή έντονες ταλαντώσεις.
• Χαμηλό υπολογιστικό κόστος
Απαιτεί μία αξιολόγηση της επιτάχυνσης ανά βήμα.
Συνοπτικά, η Leapfrog είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για προσομοιώσεις μηχανικών συστημάτων όπου η μακροχρόνια φυσική πιστότητα είναι σημαντικότερη από την υψηλή τοπική ακρίβεια ανά βήμα.