Experiment with substituting different values into an equation. Determine whether there are 0, 1, or an infinite number of solutions. 

[i]Answer these open ended questions on your own or with others to form deeper math connections.[/i]

Putting It All Together

Juego sobre sistemas de ecuaciones

Resolución de ecuaciones en un paso utilizando un modelo de barras

Visualización de ecuaciones con una balanza

Solving One-Variable Equations: Hot and Cold Activity

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Relaciones matemáticas entre valores independientes y dependientes

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Evaluar expresiones con valor absoluto para resolver problemas numéricos y textuales, incluso hallar  distancias horizontales y verticales entre puntos y rectas.

Expresiones con valor absoluto

Determinar el valor absoluto de un número con y sin modelos, en problemas numéricos y textuales.

Valor absoluto de enteros

Utilizar adición y sustracción para hallar medidas desconocidas en ángulos no superpuestos.

Sumar y restar ángulos

Sumar y restar decimales usando modelos y figuras para explicar el proceso y registrar los resultados.

Sumar y restar decimales

Sumas y restar fracciones y números mixtos de igual denominador (sin reagrupar) en problemas numéricos y textuales.

Sumar y restar fracciones o números mixtos de igual denominador

Sumar y restar fracciones y números mixtos con diferentes denominadores en problemas numéricos y textuales.

Sumar y restar fracciones y números mixtos con diferentes denominadores

Sumar y restar fracciones y números mixtos utilizando modelos y figuras para explicar el proceso y registrar los resultados, en problemas numéricos y textuales.

Sumar y restar fracciones y números mixtos

Modelizar o calcular con enteros utilizando adición y sustracción en problemas numéricos y textuales.

Suma y resta de enteros

Identificar inversos aditivos (opuestos) e inversos multiplicativo (recíprocos) y utilizarlos para resolver problemas numéricos y textuales.

Inversos aditivo y multiplicativo

Reexpresar o simplificar expresiones algebraicas aplicando las propiedades conmutativas, asociativas, distributivas, de inversos e identidades, en problemas numéricos y textuales.

Propiedades algebraicas

Usar variados triángulos, cuadriláteros y otros polígonos para extraer conclusiones acerca de la suma de las medidas de los ángulos interiores.

Propiedades de suma de ángulos en triángulos, cuadriláteros y polígonos

Identificar ángulos en relación de congruencia y suplementariedad formados por dos paralelas cortadas por una recta transversal.

Ángulos en rectas paralelas

Identificar y nombrar el vértice, los lados, el interior y el exterior de un ángulo. Usar las convenciones adecuadas para identificar y nombrar los ángulos.

Ángulos

Estimar y calcular áreas en dibujos a escala y mapas.

Área en dibujos a escala y mapas

Determinar el área de rectángulos, cuadrados y figuras compuestas utilizando unidades no estándares, cuadrículas y unidades estándares, en problemas numéricos y textuales.

Áreas de rectángulos, cuadrados y figuras compuestas

Usar cuadrículas para evidenciar la relación entre el número de unidades cuadradas en un rectángulo y el largo y ancho del rectángulo; hallar el área utilizando la fórmula, en problemas numéricos y textuales.

Área de rectángulos con cuadrículas

Reconocer el efecto de un factor de semejanza en las áreas y volúmenes de figuras semejantes; usar fórmulas para resolver problemas numéricos y textuales.

Áreas y volúmenes de figuras geométricas semejantes

Organizar, mostrar e interpretar información en gráficos de barras.

Gráficos de barras

Organizar, mostrar e interpretar información en diagramas de cajas y de dispersión.

Diagramas de cajas y de dispersión

Estimar y calcular con números expresados en notación científica

Cálculos con notación científica

Indicar la probabilidad de un evento (con o sin modelos) como seguro, imposible, más probable, menos probable, o ni probable ni improbable, utilizando las probabilidades de referencia 0, 1/2 y 1.

Eventos seguros, probables, improbables e imposibles

Identificar y utilizar apropiadamente escalas e intervalos en representaciones gráficas de datos

Selección de escalas e intervalos para gráficos

Organizar, mostrar e interpretar información en gráficos de sectores, utilizando razones y porcentajes.

Gráfico de sectores

Identificar combinaciones de fracciones que suman un entero

Combinación de fracciones

Comparar datos y distribuciones de datos, numéricos y contextuales, para extraer conclusiones considerando las medidas de tendencias central y dispersión.

Comparar distribuciones de datos

Comparar números decimales (décimas y centésimas) con y sin modelos.

Comparar decimales

Comparar y ordenar fracciones usando numeradores o denominadores comunes.

Comparación de fracciones

Comparar y ordenar números enteros con y sin modelos.

Comparación de enteros

Comparar y ordenar números menores que 10 000

Comparar numeros menores que 10 000

Escribir una razón o tasa para comparar dos cantidades.

Comparación de cantidades con razones

Comparar y ordenar números racionales con y sin modelos.

Comparar números racionales

Complemento de un evento

Definir e identificar ángulos complementarios y suplementarios.

Ángulos complementarios y suplementarios

Modelar el concepto de porcentaje y relacionarlo con su valor en forma decimal o fraccionaria.

Conversión entre porcentajes y fracciones o decimales

Ubicar puntos en todos los cuadrantes del plano cartesiano utilizando pares ordenados, en problemas numéricos y textuales.

Plano cartesiano y pares ordenados

Ubicar un punto del primer cuadrante en un sistema de coordenadas a partir de un par ordenado; nombrar el par ordenado correspondiente a un punto del primer cuadrante dado en un sistema de coordenadas.

Plano de coordenadas

Utilizar proporciones para expresar las relaciones existentes entre partes correspondientes en figuras semejantes.

Elementos correspondientes en figuras semejantes

Estimar y calcular costos de artículos mayores a $1; dar cambio.

Costo de artículos y dar cambio

Determinar la cantidad de elementos del espacio muestral para un evento utilizando estrategias de conteo (incluyendo diagramas de árbol, permutaciones, combinaciones y el principio fundamental del conteo).

Estrategias de conteo para espacios muestrales.

Describir vistas de secciones planas en figuras de tres dimensiones.

Secciones planas de sólidos

Utilizar modelos geométricos y ecuaciones para investigar el significado del cubo de un número y la relación con su raíz cúbica.

Cubo y raíces cúbicas

Describir datos utilizando o seleccionando la medida de tendencia central más apropiada; elegir una medida de tendencia central según la forma de la representación gráfica de la distribución de datos.

Datos, distribución de datos y tendencia central

Leer, escribir y comparar números con cifras decimales a la milésima o números mayores que un millón.

Decimales mayores que un millón.

Utilizar el análisis dimensional para renombrar cantidades o tazas.

Análisis dimensional

Escribir ecuaciones que representan relaciones de proporcionalidad directa y utilizar la proporcionalidad directa para resolver problemas numéricos y textuales.

Relación de proporcionalidad directa

Usar la fórmula de distancia para calcular la distancia entre dos puntos. Usar la fórmula del punto medio para hallar las coordenadas del punto medio de un segmento.

Fórmula para el punto medio y distancia entre dos puntos

Calcular distancias en dibujos a escala y en mapas.

Distancias en dibujos a escala y mapas

Utilizar la propiedad distributiva para representar y simplificar expresiones numéricas.

Propiedad distributiva

Representar la división de fracciones y números mixtos con y sin modelos y figuras, en problemas numéricos y textuales. Describir la relación inversa entre multiplicación y división.

División de fracciones y números mixtos

Dividir dos fracciones o una fracción por un número entero en problemas numéricos o textuales.

División de fracciones

Representar la división de una fracción unitaria por un número entero, o un número entero por una fracción unitaria, utilizando modelos para explicar el proceso, en problemas numéricos y textuales.

División de fracciones unitarias

Modelar la división de varias maneras, incluyendo la igualdad compartida, restas sucesivas, configuraciones rectangulares y la relación con la multiplicación.

Modelos de división

Dibujar y medir ángulos con un transportador. Comprender que un círculo corresponde a 360 grados.

Dibujar y medir ángulos con un transportador

Describe los efectos de las operaciones en cuanto a magnitud y orden de los números.

Efecto de las operaciones en los números

Identificar valores atípicos y determinar su efecto en la media, la mediana y el rango de un conjunto de datos.

Efecto de los valores atípicos en la mediana, la media y el rango de un conjunto de datos

Resolver problemas que involucran tiempo transcurrido

Tiempo transcurrido

Escribir una ecuación que describa la relación algebraica entre dos variables definidas a partir de problemas numéricos y textuales, incluyendo la identificación de la variable dependiente.

Ecuaciones en dos variables

Resolver ecuaciones que involucran potencias y raíces utilizando relaciones inversas.

Ecuaciones que involucran potencias y raíces

Utilizar la definición de números racionales para convertir decimales y fracciones a sus formas equivalentes.

Formas equivalentes de decimales y fracciones

Convertir fracciones y decimales no periódicos (hasta tres cifras decimales) en formas equivalentes sin usar modelos; explicar la equivalencia.

Fracciones y decimales equivalentes

Usar modelos para escribir fracciones equivalentes, incluso a través de composición/descomposición o mostrando relaciones entre mitades, cuartos y octavos, y entre tercios y sextos.

Modelos de fracciones equivalentes

Escribir fracciones equivalentes con menor o mayor denominador.

Fracciones equivalentes

Aplicar razones equivalentes para resolver problemas numéricos y textuales.

Razones equivalentes

Estimar y calcular sumas y diferencias con decimales.

Estimar sumas y diferencias con decimales

Estimar la medida de un objeto en un sistema conociendo la medida del mismo objeto en otro sistema.

Estimar medidas

Estimar, medir y comparar capacidades utilizando instrumentos y unidades apropiadamente, en problemas numéricos y textuales.

Estimación y medición de capacidad

Estimar, medir y comparar longitudes utilizando apropiadamente instrumentos y unidades, en problemas numéricos y textuales.

Estimación y medición de longitudes

Estimar, medir y comparar pesos utilizando instrumentos e unidades apropiados, en problemas numéricos y textuales.

Estimar y medir pesos

Estimar y calcular productos de números enteros con factores de varias cifras.

Estimar el producto de dos números enteros

Estimar productos y cocientes de decimales o de números mixtos.

Estimar productos y cocientes de fracciones y números mixtos

Aplicar el tipo apropiado de estimación para problemas numéricos y textuales que implican estimar productos y cocientes.

Estimar productos y cocientes

Estimar y resolver problemas de división con divisores de varias cifras; explicar la solución.

Estimar cocientes de números enteros

Estimar la raíz cuadrada de un número entre dos enteros consecutivos, con y sin modelos. Utilizar la calculadora para estimar la raíz cuadrada de un número.

Estimar raíces cuadradas al entero más cercano

Estimar sumas y diferencias con fracciones y números mixtos.

Estimación de sumas y diferencias de fracciones y números mixtos

Aplicar tipos apropiados de estimación para sumas y diferencias.

Estimación de sumas y diferencias

Evaluar expresiones algebraicas en problemas numéricos y textuales.

Evaluación de expresiones algebraicas

Usar notación exponencial y multiplicaciones reiteradas para describir y simplificar expresiones exponenciales.

Expresiones exponenciales

Simplificar expresiones numéricas que pueden contener exponentes.

Expresiones con exponentes

Comprender que muchos números enteros pueden ser factorizados de diversas maneras.

Divisores de un número entero

Identificar y construir figuras con eje de simetría.

Figuras con simetría

Calcular las áreas de triángulos, paralelogramo, trapezoides, círculos y figuras compuestas en problemas numéricos y textuales.

Hallar las áreas de triángulos, paralelogramos, trapezoides, círculos y figuras compuestas

Hallar la parte fraccionaria de un número entero o fracción con y sin modelos y figuras.

Hallar la parte fraccionaria

Identificar o crear patrones geométricos y numéricos; corregir errores en patrones o interpretar sus características.

Hallar la regla en un patrón numérico

Utilizar modelos para hallar el volumen de prismas y cilíndros, como producto del área de la base por la altura. Calcular el volumen de prismas en problemas numéricos y textuales.

Hallar el volumen a partir de base y altura

Utilizar modelos para deducir la relación entre la longitud del contorno de una figura y la fórmula para su perímetro. Hallar el perímetro utilizando la fórmula en problemas numéricos y textuales.

Fórmula para el perímetro

Usar modelos para desarrollar fórmulas de cálculo de áreas de triángulos, paralelogramos, trapezoides y círculos en problemas numéricos y textuales.

Fórmulas para las áreas de triángulos, paralelogramo, trapezoides y círculos

Hallar las áreas lateral y total de un prisma recto, pirámide, cilindro circular recto y cono utilizando fórmulas.

Fórmulas para calcular las áreas totales de sólidos

Representar la división de números enteros como una fracción, en problemas numéricos y textuales.

La fracción como división

Utilizar tablas de frecuencias, diagramas de dispersión y otros gráficos para determinar la forma, centro y dispersión de una distribución de datos.

Tablas de frecuencia y diagramas de dispersión

Interpretar modelos de probabilidad para datos de simulaciones o experimentales, presentados en tablas y gráficos (tablas de frecuencia, diagramas de puntos, gráficos de barras).

Tablas de frecuencia, diagramas de puntos y gráficos de barras

Generar un conjunto de pares ordenados utilizando una regla dada en forma verbal, algebraica o tabular; generar una sucesión dada una regla en forma verbal o algebraica.

Generar pares ordenados y sucesiones

Utilizar pares ordenados derivados de tablas, reglas algebraicas o descripciones verbales para gráfica funciones lineales.

Representar gráficamente funciones lineales utilizando pares ordenados

Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones lineales.

Graficar sistemas de ecuaciones lineales

Orgnizar, mostrar e interpretar varios conjuntos de información en un mismo gráfico, incluidos barras múltiples, tallos y hojas múltiples y líneas múltiples.

Gráficos con varios conjuntos de información

Organizar, mostrar e interpretar información en gráficos que contienen escalas con múltiples unidades.

Gráficos con escalas que representan múltiples unidades

Hallar divisores, divisores comunes y el máximo divisor común de varios números; explicar.

Máximo común divisor

Organizar y comparar un conjunto de datos en histogramas y gráficos de barras

Histogramas versus gráficos de barras

Organizar, mostrar e interpretar información en histogramas

Histogramas

Identificar elementos proporcionales en figuras semejantes utilizando regla y transportador.

Identificar figuras semejantes a través de la medición

Reconocer que una pregunta estadística es aquella que implicará recoger datos que pueden ser variables.

Identificar preguntas estadísticas

Graficar o identificar inecuaciones simples utilizando notación simbólica (>, <, ≤, ≥ y ≠), en problemas numéricos y textuales.

Desigualdades utilizando notación simbólica: >, <, ≤, ≥ y ≠.

Realizar inferencias acerca de una población basado en una muestra, y comparar la variación con diversas muestras.

Inferencias a partir de muestras

Usar conceptos de números positivos, negativos y cero (por ejemplo, en una recta numérica, al contar, en la temperatura, en deudas) para describir cantidades, en problemas textuales y numéricos.

Enteros

Identificar e interpretar la imagen y la preimagen de cero en una relación lineal, en problemas numéricos y textuales.

Imagen y preimagen de cero en relaciones lineales

Utilizar propiedades, definiciones y teoremas de polígonos para resolver problemas relacionados con los ángulos interiores y exteriores en un polígono convexo.

Ángulos interiores y exteriores en un polígono.

Utilizar restos en la resolución de problemas e interpretar el resto con respecto al problema original.

Interpretación del resto

Identificar, dibujar y nombrar puntos, semirrectas, segmentos, rectas y planos.

Introducción a la geometría

Utilizar modelos para investigar los conceptos relacionados con el teorema de Pitágoras.

Investigar el teorema de Pitágoras

Utilizar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones numéricas y algebraicas.

Ley de los exponentes

Hallar múltiplos, múltiplos comunes y el mínimo común múltiplo de varios números; explicar.

Mínimo común múltiplo

Organizar, mostrar e interpretar información en diagramas de puntos con una escala horizontal en unidades fraccionarias.

Diagrama de puntos con escala fraccionaria

Proponer un problema a partir de una ecuación o inecuación simple

Ecuaciones e inecuaciones en problemas textuales

Modelizar y resolver ecuaciones lineales utilizando las propiedades de las desigualdades, en problemas numéricos y textuales.

Inecuaciones lineales en problemas

Identificar relaciones de proporcionalidad directa, lineales o no lineales utilizando reglas, tablas gráficos.

Relaciones lineales, no lineales y de proporcionalidad directa

Identificar relaciones lineales y lineales en conjuntos de datos.

Relaciones lineales y no lineales en conjuntos de datos

Definir e identificar ángulos alternos internos, alternos externos, correspondientes, adyacentes y opuestos por el vértice.

Rectas y ángulos

Identificar el número de eje de simetría en una figura y dibujarlos.

Ejes de simetría

Dividir por divisores de un dígito con y sin resto.

División larga

Determinar la desviación absoluta promedio de uno o más conjuntos de datos. Describir el significado de la desviación absoluta promedio para conjuntos de datos dados.

Desviación absoluta promedio de un conjunto de datos

Media de un conjunto de datos

Seleccionar la medida de variabilidad apropiada; elegir una medida de variabilidad de acuerdo a la presencia de valores atípicos, grupos y la forma de la distribución de datos.

Medidas de variabilidad

Mediana de un conjunto de datos

Moda de un conjunto de datos

Generar el modelo lineal que mejor se ajuste a un conjunto de datos; utilizar el modelo lineal para realizar predicciones.

Modelizar datos y realizar predicciones

Construir o completar una tabla de valores para resolver problemas asociados a cierta relación dada.

Modelizar con tablas

Determinar el valor de un conjunto de monedas y billetes utilizando los símbolos de dólares y centavos apropiadamente. Crear cantidades equivalentes con diferentes monedas y billetes.

Matemáticas con dinero

Sumar números de varias cifras con reagrupamiento, en problemas numéricos y textuales.

Sumas de números de varias cifras con reagrupamiento

Restar números de varias cifras con reagrupamiento, en problemas numéricos y textuales.

Resta de números de varias cifras con reagrupamiento

Escribir un enunciado de multiplicación o división para representar un problema numérico o textual; resolver.

Enunciados de multiplicación y división

Multiplicar un número de una cifra por un múltiplo de 10 de dos cifras.

Multiplicar un número de una cifra por un número de dos cifras

Reconocer y utilizar patrones en potencias de 10 (con o sin exponentes) para multiplicar y dividir números enteros y decimales.

Multiplicación y división por potencias de 10

Multiplicar y dividir decimales utilizando modelos y figuras para explicar el proceso y registrar los resultados.

Multiplicación y división de decimales con modelos

Multiplicar o dividir dos decimales o un decimal y un número entero, en problemas numéricos y textuales.

Multiplicación y división con decimales

Modelizar o calcular con números enteros utilizando multiplicación o división, en problemas numéricos y textuales.

Multiplicación y división de números enteros

Multiplicar o dividir con números mixtos en problemas numéricos y textuales.

Multiplicación y división de números mixtos

Multiplicar dos fracciones o una fracción por un entero, en problemas numéricos y textuales.

Multiplicación de fracciones

Multiplicar un número entero de varias cifras por un entero de una cifra o un múltiplo de 10 de 2 cifras.

Multiplicar números de varias cifras

Resolver problemas numéricos y textuales en varios pasos, utilizando las cuatro operaciones.

Problemas que se resuelven en varios pasos

Identificar los desarrollos planos de prismas, pirámides, cilindros y conos en problemas geométricos y aplicados.

Desarrollos planos de sólidos

Determinar si una ecuación lineal tiene una solución, infinitas o ninguna.

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones

Leer y escribir con palabras los números del 1000 al 9999.

Números del 1000 al 9999

Leer, escribir y comparar números enteros entre 10 000 y 1 00 000 utilizando notaciones estándar y desarrollada.

Números desde 10 000 a 1 000 000

Leer y escribir con palabras los números enteros de 101 a 999.

Números del 101 al 999

Leer, escribir o modelizar números en forma desarrollada utilizando fracciones decimales o exponentes.

Números en forma desarrollada

Expresar números enteros en notación científica; convertir notación científica a forma estándar; investigar los usos de la notación científica.

Números en notación científica

Describir un conjunto de datos a partir del número de observaciones, de qué ha sido medido y de las unidades de medida.

Observación, medida y muestreo

Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales de un paso y representar gráficamente la solución de una inecuación en una recta numérica, en problemas numéricos y textuales

Ecuaciones e inecuaciones lineales de un paso

Realizar operaciones de varios pasos con números racionales (positivos y negativos), en problemas numéricos y textuales.

Operaciones con números racionales

Utilizar el orden de las operaciones, incluyendo paréntesis y otros símbolos de agrupamiento, para simplificar expresiones numéricas.

Orden de las operaciones

Identificar valores atípicos y grupos en datos bivariados en tablas y diagramas de dispersión.

Valores atípicos y grupos en diagramas de dispersión

Utilizar propiedades, definiciones y teoremas de ángulos y rectas para resolver problemas relacionados con pares de ángulos adyacentes, opuestos por el vértice, complementarios y suplementarios.

Pares de ángulos

Determinar e interpretar los componentes de expresiones algebraicas tales como términos, factores, variables, coeficientes, constantes y partes de potencias, en problemas numéricos y textuales.

Partes de una expresión algebraica

Identificar las partes de una expresión numérica o algebraica.

Partes de una expresión

Resolución de problemas textuales usando patrones.

Patrones y resolución de problemas

Resolver problemas numéricos y textuales que involucran porcentajes de aumento y descuento.

Porcentaje de aumento y de descuento

Calcular o estimar el porcentaje de un número incluyendo descuentos, impuestos, comisiones e interés simple.

Porcentaje de un número

Resolver problemas numéricos y textuales utilizando porcentaje como proporciones, ecuaciones o razones.

Problemas con porcentajes

Determinar el perímetro con modelos concretos, unidades estándares y no estándares, en problemas numéricos y textuales.

Perímetro

Investigar y determinar la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia y el valor de pi; calcular la longitud de la circunferencia.

Pi como una relación entre diámetro y circunferencia

Utilizar el valor posicional con millares

Valor posicional con millares

Indicar y comparar el valor posicional de cada dígito en un número entero o decimal de varias cifras.

Valor posicional

Representar gráficamente y escribir la ecuación de una relación lineal dada por dos puntos de la recta.

Ecuación de la recta a partir de dos puntos

Representar gráficamente y escribir la ecuación de una relación lineal, dados su coeficiente angular y un punto que le pertenezca.

Ecuación de la recta en la forma punto - coeficiente angular.

Puntos en una recta numérica

Distinguir entre población y muestra, y extraer conclusiones acerca de la muestra (aleatoria o sesgada).

Población versus muestra

Realizar predicciones a partir de resultados de encuestas y muestras.

Predicciones a partir de muestras

Identificar números primos y compuestos hasta 100.

Números primos y compuestos

Expresar un número como producto de factores primos.

Factorización prima

Determinar una probabilidad simple utilizando figuras geométricas.

Probabilidades en geometría

Describir la probabilidad de un evento aleatorio utilizando una fracción o razón.

Probabilidad de un evento como fracción o razón

Determinar la probabilidad de eventos compuestos (con y sin reposición).

Probabilidad de eventos compuestos

Utilizar una cuadrícula con coordenadas para resolver problemas numéricos y textuales. Describir el trayecto entre puntos dados.

Problemas en el plano cartesiano

Aplicar las propiedades conmutativa y asociativa para sumas o multiplicar expresiones numéricas.

Propiedades de la adición y la multiplicación

Verificar la conservación o variación de las propiedades y relaciones en figuras geométricas luego de una transformación.

Propiedades de las figuras geométricas

Interpretar y comparar propiedades de las funciones lineales, sus gráficos y ecuaciones.

Propiedades de las funciones lineales, sus gráficos y ecuaciones

Usa material concreto, representaciones pictóricas y vocabulario apropiado (por ejemplo, polígono, lado, ángulo, vértice, diámetro) para identificar y comparar propiedades de las figuras planas.

Propiedades de figuras planas

Utilizar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, y las inversas e identidades, para resolver problemas numéricos y textuales con números racionales.

Propiedades de los números racionales

Escribir una proporción para modelizar un problema textual; resolver proporciones.

Proporciones

Utilizar el teorema de Pitágoras y su recíproco para resolver problemas numéricos y textuales, incluso para hallar la distancia entre dos puntos.

Teorema de Pitágoras y su recíproco

Determinar los cuartiles y el rango intercuartil para un conjunto de datos.

Cuarteles y rango intercuartil de un conjunto de datos

Rango de un conjunto de datos

Determinar la razón o el ritmo de cambio de una relación dada a partir de una tabla o un gráfico.

Razón a partir de una tabla o un gráfico

Leer y escribir con palabras los números racionales en forma decimal hasta el lugar de las centésimas o de las milésimas.

Números racionales en forma decimal

Describir la relación entre términos correspondientes en dos o más patrones numéricos o tablas de razones.

Razones y proporciones

Describir, utilizar y comparar números reales. Utilizar la definición de números racionales para obtener y distinguir números irracionales.

Números reales, racionales e irracionales

Representar figuras planas que son imagen de una simetría, en todos los cuadrantes del plano cartesiano.

Simetrías en el plano cartesiano

Definir y distinguir entre relaciones y funciones, variables dependientes e independientes, dominio y rango; identificar si una relación es función, numérica y gráficamente.

Relaciones y funciones

Relacionar un porcentaje con su correspondiente fracción o número decimal

Relación entre porcentajes y fracciones o decimales

Usar modelos para investigar la relación entre volumen de cono y cilindro, y entre volumen de pirámide y prisma, con iguales base y altura.

Relación entre volumen de cono y cilindro, y entre volumen de pirámide y prisma.

Identificar y representar rectas y segmentos que se cortan, paralelos, que cruzan y perpendiculares. Identificar los puntos medios de segmentos de recta.

Relación entre dos rectas y puntos medios de segmentos de recta

Representar fracciones concreta y simbólicamente, incluyendo la representación de números enteros como fracciones.

Representar fracciones

Representar la multiplicación y división de números mixtos con y sin modelos y figuras.

Representar la multiplicación y división de números mixtos

Reescribir y comparar números decimales y fracciones (décimos y centésimos) con y sin modelos y figuras.

Reescribir fracciones y decimales

Son propiedades, definiciones y teoremas para resolver problemas de isometrías y homotesias en figuras planas.

Isometías y homotecia con figuras planas

A partir de coordenadas, ubicar y representar figuras planas que son imágenes de rotaciones de centro dado y de ángulo múltiplo de 90º.

Rotaciones en el plano cartesiano

Redondear decimales a cierto lugar decimal dado; redondear fracciones y números mixtos a un número entero o a cierto lugar decimal dado.

Redondear decimales, fracciones y números mixtos.

Redondear números enteros a un valor posicional dado.

Redondear números enteros

Dada una lista de pares ordenados en una tabla o en un gráfico, identificar verbal o algebraicamente la regla utilizada para generarla y registrar los resultados.

Reglas para la generación de pares ordenados

Determinar y usar factores de semejanza para reducir y ampliar figuras en una cuadrícula, para producir homotecias.

Factores de semejanza

Organizar, mostrar e interpretar información en diagramas de dispersión. Aproximar una recta de ajuste e identificar la relación como positiva, negativa o de no correlación.

Diagramas de dispersión

Describir o representar figuras planas que resultan de una sucesión de transformaciones.

Sucesión de transformaciones en el plano cartesiano

Utilizar la notación simbólica de conjuntos para describir dominios, rangos, intersección y unión de conjuntos. Identificar el cardinal de un conjunto, conjuntos equivalentes, conjuntos disjuntos, complemento y subconjuntos.

Teoría de conjuntos

Aplicar el concepto de proporcionalidad para resolver problemas vinculados con polígonos semejantes.

Polígonos semejantes

Usas propiedades de los triángulos para resolver problemas relacionados con triángulos semejantes y las relaciones entre sus elementos correspondientes.

Triángulos semejantes y correspondencias.

Identificar elementos correspondientes en figuras semejantes y congruentes.

Semejanza y congruencia

Determinar una simulación (tal como números aleatorios, lettuce y lanzamiento de monedas) para modelar frecuencias en eventos compuestos.

Simulaciones para estimar probabilidades de eventos compuestos

Describir el coeficiente angular de una recta en el contexto de una situación problemática; comparar ritmos de cambio en relaciones lineales representadas en formas variadas.

Coeficiente angular como ritmo de cambio

Representar gráficamente y escribir la ecuación de una relación lineal dados el coeficiente angular y la ordenada en el origen.

Forma explícita de la ecuación de la recta (coeficiente angular y ordenada en el origen)

Hallar el coeficiente angular de una recta a partir de dos puntos, una tabla de valores, la representación gráfica de la recta o de su ecuación, en problemas numéricos y textuales.

Coeficiente angular de una recta

Identificar los valores de un conjunto de números que satisfacen una igualdad o desigualdad dada.

Resolución de inecuaciones

Resolver ecuaciones lineales aplicando las propiedades asociativas, conmutativas, distributiva y de la igualdad, justificando cada paso.

Resolver ecuaciones lineales

Utilizar modelos geométricos y ecuaciones para investigar el significado del cuadrado de un número y su relación con su raíz cuadrada. Conocer cuadrados perfectos hasta 625.

Cuadrados y raíces cuadradas

Relacionar las notaciones estándar y desarrollada para números de 3 y 4 dígitos.

Notaciones estándar y desarrollada de números de 3 y 4 dígitos

Contrastar enunciados sobre valor absoluto de números enteros con enunciados sobre el orden en los enteros.

Enunciados con valor absoluto de números enteros

Organizar, mostrar e interpretar información en diagramas de tallo y hojas.

Diagramas de tallo y hojas

Restar números de 2 y 3 dígitos con y sin modelos, para números y problemas textuales que requieren reagrupamiento.

Restar números de 2 y 3 dígitos

Usar desarrollos planos o fórmulas para encontrar el área total de prismas, pirámides y cilindros, en problemas numéricos y textuales.

Área de la superficie total de sólidos

Calcular el área total y el volumen de una esfera, en problemas numéricos y textuales.

Área total y volumen de una esfera

Redactar y resolver sistemas de ecuaciones lineales en dos o más variables, algebraicamente en problemas numéricos y textuales.

Sistemas de ecuaciones lineales en dos o más variables

Organizar, mostrar e interpretar información en tablas y gráficos (tablas de frecuencias, pictogramas y diagramas de puntos).

Tablas y gráficos

Determinar la probabilidad a partir de resultados experimentales o comparar probabilidad teórica y resultados experimentales.

Probabilidad teórica versus probabilidad experimental

Identificar el valor posicional de cada dígito en un número de varias cifras hasta las milésimas.

Lugar de las milésimas en números decimales

Transformar (traslación, rotación, simetría, homotecia) polígonos en el plano cartesiano; describir la transformación en términos algebraicos simples.

Transformaciones en el plano cartesiano

Usar modelos o puntos en el plano cartesiano para ilustrar, reconocer o describir transformaciones isométricas (traslaciones, simetrías y rotaciones) en figuras planas.

Transformar figuras planas

Ubicar y representar puntos dados por sus coordenadas, que son imagen de una isometría, en todos los cuadrantes del plano cartesiano; describir la trayectoria del movimiento utilizando modelos geométricos o términos apropiados.

Transformación de puntos en el plano cartesiano

Traducción entre modelos o frases y expresiones algebraicas.

Traducir expresiones algebraicas

Escribir una ecuación o inecuación lineal para representar un problema dado, numérico o textual. Resolverla.

Traducción de ecuaciones e inecuaciones lineales

Realizar traducciones entre modelos o frases y expresiones numéricas.

Traducción de expresiones numéricas

Reconocer las condiciones para que las medidas de los lados determinen un único triángulo, más de un triángulo o ninguno.

Teorema de la desigualdad triangular

Resolver ecuaciones e inecuaciones en dos pasos y representar la solución de una inecuación en la recta numérica.

Ecuaciones e inecuaciones que se resuelven en dos pasos

Escribir enunciados numéricos utilizando cualquier combinación de las cuatro operaciones que representen un problema textual que se resuelve en dos pasos; resolverlo.

Problemas que se resuelven en dos pasos utilizando las cuatro operaciones

Construir e interpretar una tabla de doble entrada para mostrar dos categorías de datos de la misma fuente.

Tablas de doble entrada

Identificar y dibujar ángulos (agudo, recto, obtuso y llano)

Tipos de ángulos

Nombrar polígonos según el número de helados. Distinguir cuadriláteros por las propiedades de sus lados y ángulos; relacionar cuadriláteros en función de sus atributos jerárquicos.

Tipos de cuadriláteros

Identificar y clasificar triángulos según las medidas de sus ángulos interiores y las longitudes de sus lados; relacionar triángulos basados en sus atributos jerárquicos.

Tipos de triángulos

Convertir medidas de longitud, área, capacidad, peso y tiempo expresadas en cierta unidad a otras unidades en el mismo sistema de medida, en problemas numéricos y textuales.

Conversión de unidades de longitud, área, capacidad, peso y tiempo

Utilizar modelos para representar una fracción que es producto de un número entero por una fracción unitaria, en problemas numéricos y textuales.

Fracciones unitarias

Dada una relación de proporcionalidad representada por una tabla, un gráfico, un modelo o una descripción verbal o algebraica, identificar el cambio unitario (constante de proporcionalidad).

Cambio unitario y la constante de proporcionalidad

Calcular el incremento unitario en problemas numéricos y textuales, incluyendo la comparación de incrementos unitarios.

Incremento unitario

Calcular el cambio unitario de razones que incluyen fracciones para realizar comparaciones, en problemas numéricos y textuales.

Cambio unitario con fracciones

Usar números redondos (cero, un medio, uno) y modelos para comparar y ordenar fracciones.

Usar números redondos con fracciones

Utilizar definiciones y teoremas de ángulos formados por rectas paralelas y una transversal.

Usar teoremas par ángulos definidos con dos rectas paralelas

Realizar predicciones basados en probabilidades teóricas o resultados experimentales.

Utilizar las probabilidades teórica y experimental para realizar predicciones.

Hallar el valor de una variable en un enunciado numérico.

Valor de una variable en un enunciado numérico.

Analizar gráficos, identificar situaciones o resolver problemas con ritmo de cambio variable.

Ritmo de cambio variable

Resolver problemas utilizando diagramas de Venn.

Diagramas de Venn

Modelizar el concepto de volumen de una figura sólida utilizando unidades cúbicas.

Volumen de un cubo en unidades cúbicas

Determinar el volumen de figuras compuestas, en problemas numéricos y textuales.

Volumen de figuras compuestas

Calcular el volumen de cilindros, pirámides y conos, en problemas numéricos y textuales.

Volumen de sólidos

Describir el significado de una incógnita en el contexto de un problema textual.

Problemas textuales con una incógnita

Descubre recursos gratuitos e interactivos para explorar y practicar álgebra, organizado por grado para una mejor navegación. Ideal para docentes y estudiantes de grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad).

Ilustración sobre álgebra que muestra un ordenador con el gráfico de una función matemática en su pantalla.

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Aprende Álgebra - Recursos matemáticos GeoGebra

Descubre recursos gratuitos e interactivos para explorar y practicar geometría, organizados por grado para una mejor navegación. Ideal para docentes y estudiantes de los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad)

Ilustración sobre geometría que muestra un compás.

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Aprende Geometría - Recursos matemáticos GeoGebra

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Aprende mediciones - Recursos matemáticos GeoGebra

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Aprende probabilidad y estadística - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el cálculo de valores absolutos de números y expresiones con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende valor absoluto - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la adición de números y perfecciona tus habilidades con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende adición - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la identificación, construcción y medida de diferentes tipos de ángulos. Transfórmate en un experto en ángulos con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende ángulos - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el cálculo de área de figuras planas con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende Área - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo identificar figuras congruentes y semejantes con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende congruencia y semejanza - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la ubicación de puntos en la recta numérica y en el plano cartesiano con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende coordenadas - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el trabajo con números decimales con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende decimales - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el uso de diagramas variados, como histograma, diagramas de cajas, diagramas de dispersión, diagramas de puntos y tablas de frecuencia, con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar el uso de diferentes diagramas, como histograma, diagramas de cajas, diagramas de dispersión, diagramas de puntos y tablas de frecuencia para organizar, mostrar e interpretar información.

Aprende diagramas - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica tus habilidades, mejora tu comprensión y resuelve problemas de división con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende división - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar la resolución de ecuaciones lineales, ecuaciones con potencias o raíces, y problemas textuales con una incógnita. Aprende como resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Aprende ecuaciones - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la evaluación de exponentes y expresiones exponenciales con los recursos interactivos de GeoGebra.

Accede a más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para aprender y practicar la descripción y simplificación de expresiones exponenciales utilizando las reglas de los exponentes.

Aprende exponentes - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica las simplificación de expresiones utilizando propiedades con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar la traducción y evaluación de expresiones matemáticas y aprender las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

Aprende expresiones - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y práctica para hallar múltiplos, múltiplos comunes, divisores y divisores comunes de números, con los recursos interactivos de GeoGebra.

Accede a más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para mejorar tus habilidades para hallar múltiplos, múltiplos comunes, divisores, divisores comunes, mínimo común múltiplo y máximo común divisor de números.

Aprende divisores y múltiplos - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica las operaciones con fracciones con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende operaciones con fracciones - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica tus habilidades para comparar y ordenar fracciones con los recursos interactivos de GeoGebra.

Accede a más de 100 recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 48 para aprender y practicar la comparación y ordenamiento de fracciones, y la identificación de fracciones equivalentes.

Aprende sentido fraccionario - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la identificación y representación gráfica de diferentes tipos de funciones con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para aprender y practicar la distinción entre relaciones y funciones. Aprende a graficar funciones y resolver problemas numéricos y textuales.

Aprende funciones - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la resolución y representación gráfica de inecuaciones con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar la resolución de inecuaciones en uno y dos pasos. Utiliza la recta numérica para representar las soluciones de problemas numéricos y textuales.

Aprende inecuaciones - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el trabajo con enteros con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar comparación y orden en enteros utilizando números positivos y negativos, en problemas textuales y numéricos.

Aprende enteros - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo identificar relaciones lineales, no lineales y directamente proporcionales con los recursos interactivos de GeoGebra.

Explora más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar la aproximación de modelos lineales e identificar relaciones lineales, no lineales y directamente proporcionales en conjuntos de datos.

Aprende regresión lineal - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo trabajar con números mixtos con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar, para explorar y practicar el trabajo con números mixtos en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad). Aprende a modelizar e identificar números mixtos y desarrolla tu habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir con ellos.

Aprende números mixtos - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la multiplicación de números y la resolución de problemas de multiplicación con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar multiplicación de números de varias cifras, aplicando las propiedades conmutativa y asociativa.

Aprende multiplicación - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo trabajar con números naturales con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar la lectura, escritura y comparación de números naturales, identificar números primos y compuestos y representar números de variadas maneras.

Aprende números naturales - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el orden de las operaciones con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende el orden de las operaciones - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la identificación y generación de patrones geométricos y numéricos, y potencia sus habilidades de reconocimiento de patrones con los recursos interactivos de GeoGebra.

Aumenta tu comprensión de patrones y relaciones con nuestra colección de más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para usar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad). Explora y practica la identificación o generación numérica y geométrica de patrones. Usa tabla de valores para resolver problemas asociados a una relación dada con nuestros recursos atrapantes e interactivos.

Aprende patrones algebraicos - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica a calcular porcentajes y resolver problemas numéricos y textuales con los recursos y interactivos de GeoGebra.

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Aprende porcentajes - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo hallar el perímetro de polígonos y círculos con los recursos interactivos de GeoGebra.

Encuentra más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para usar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para aprender y practicar sobre el perímetro de polígonos y círculos, utilizando fórmulas y el valor de pi. Explora la relación entre diámetro, circunferencia y pi.

Aprende perímetro - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica sobre el valor posicional en números con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para aprender y practicar sobre el valor posicional en números de varias cifras y redondear números enteros a un valor posicional específico.

Aprende el valor posicional - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo identificar, representar y nombrar figuras geométricas como puntos, semirrectas, rectas, segmentos de recta y planos con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para aprender y practicar cómo identificar, representar y nombrar puntos, semirrectas, rectas, segmentos de recta y planos en geometría.

Aprende puntos, rectas, segmentos, semirrectas y planas - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica como identificar, nombrar y distinguir polígonos con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre {1} recursos GeoGebra de gratuitos y listos para utilizar en los 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para aprender y practicar la denominación de polígonos según el número de lados y las diferencias entre cuadriláteros de acuerdo a sus propiedades.

Aprende polígonos - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo hallar la probabilidad de un evento aleatorio con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para utilizar y así explorar y practicar el cálculo de probabilidades en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad). Aprende cómo hallar probabilidades a partir de experimentos, espacios muestrales y eventos compuestos.

Aprende probabilidad - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica utilizando el teorema de Pitágoras para resolver problemas matemáticos con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para usar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar y explorar el teorema de Pitágoras y su recíproco. Resuelve problemas del mundo real aplicando el teorema.

Aprende el teorema de Pitágoras - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprender y practicar el trabajo con números racionales con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende números racionales - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo calcular cambios unitarios y resolver problemas de proporciones con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende razones y tasas - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el trabajo con números reales con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende números reales - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica el trabajo con raíces con los recursos interactivos de GeoGebra.

Descubre más de {1}  recursos GeoGebra gratuitos y listos para usar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad) para practicar el cálculo de raíces cuadradas cúbicas, y comprender la relación entre un número y su raíz cuadrada o cúbica. Explora modelos geométricos y ecuaciones.

Aprende radicación - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la escritura y conversión de números enteros en notación científica, con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende en notación científica - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo obtener pares ordenados a partir de tablas o reglas verbales o algebraicas, con recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende sucesiones y series - Recursos matemáticas GeoGebra

Aprende y practica la identificación de figuras sólidas con recursos interactivos de GeoGebra.

Encuentra más de {1} recursos de GeoGebra gratuitos y listos para usar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad), para explorar y practicar la identificación de desarrollo planos de prismas, pirámides, cilindros y conos. Aprende a calcular el área total y el volumen de esferas y describe las secciones planas de figuras 3D.

Aprende sólidos - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica la descripción de datos con la medida, la mediana y la moda, con recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende y practica la identificación de preguntas estadísticas, la medición de la variabilidad y la realización de predicciones a partir de datos de una muestra con los recursos interactivos de GeoGebra.

Explora y practica conceptos estadísticos con {1} recursos GeoGebra gratuitos y listos para usar en los grados 4 a 8 (11 a 15 años de edad). Identifica preguntas estadísticas, mide la variabilidad y realiza predicciones a partir de muestras. Potencia tu habilidad de análisis de datos con Gera.

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Aprende y practica la sustracción de números con recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende sustracción - Recursos matemáticos GeoGebra

Aprende y practica cómo hallar el área total de diferentes tipos de sólidos con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende y practica la identificación dejes de simetría en figuras con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende y practica a identificar y clasificar triángulos con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Aprende y practica la conversión de medidas y el apropiado uso de instrumentos, con los recursos interactivos de GeoGebra.

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Solving One-Variable Equations: Hot and Cold Activity

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